Un resultado importantísimo del método de completar el cuadrado es la llamada fórmula cuadrática (también conocida como fórmula general de segundo grado), la cual permite resolver una ecuación cuadrática cualquiera, sin importar la naturaleza de sus coeficientes. Este resultado se enuncia como sigue:
Fórmula cuadrática o fórmula general de segundo grado.
Dada una ecuación cuadrática en la forma \(ax^2+bx+c=0\) donde \(a\), \(b\) y \(c\in\mathbb{R} \land a\neq0\) se tiene:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Deducción de la fórmula cuadrática a partir del trinomio \(ax^2+bx+c=0.\)
\begin{align}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Forma~mónica}.\\
x^2+\frac{b}{a}x +\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}&=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Completando\ el\ t.c.p.}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)&=0\ \ \ \ \mathrm{Factorizando~ y~ de~} \left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)&=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Por\ ser}
\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align}
Factorizando la diferencia de cuadrados del primer miembro:
$$\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }\right)=0\ \ \ \ \ \ \mathrm{Factorizando.}$$
$$\left\{\begin{array}1x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }=0\\x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }=0\end{array}~~~\ \ \ \ \ \ \mathrm{Igualando~a~cero~cada~factor.}\right.$$
$$\left\{\begin{array}1x=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac\ \ }}{\sqrt{4a^2}}\Longrightarrow x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Longrightarrow x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}~~~~ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Despejando}~x\right.$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{ab^2-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Escribiendo\ en\ una\ sola\ expresión.}$$
Uso de la fórmula cuadrática
Al resolver situaciones de ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la fórmula general se debe siempre escribir la expresión en la forma general \(ax^2+bx+c=0\) para así poder determinar con precisión los valores de los coeficientes \(a,\ b\) y \(c.\) como se muestra en cada uno de los ejercicios resueltos que se presentan.
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Coeficientes enteros. Resolver por fórmula general las ecuaciones planteadas.
\begin{array}1
\textcolor{#ff0080}{1.}~~3x^2=11x-6~~~~& ~~~~\textcolor{#ff0080}{2.}~~x^2-11x-26=0&
~~~~\textcolor{#ff0080}{3.}~~2x^2=7x+15\end{array}
Solución 1:
reescribiendo en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se tiene \(3x^2-11x+6=0\) por tanto, \(a=3\ \ \ \ \ b=-11\ \ \ \ \ c=6\)
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-\left(-11\right)\pm\sqrt{\left(-11\right)^2-4\left(3\right)\left(6\right)}}{2\left(3\right)}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{121-72}}{6}=
\frac{11\pm\sqrt{49}}{6}\\
&x=\frac{11\pm7}{6}\ \Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\frac{11+7}{6}=\frac{18}{6}=3\\x_2=\frac{11-7}{6}=\frac46=\frac23\end{array}\right.\end{align}
Solución 2: como \(x^2-11x-26=0\) ya está en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se puede aplicar la fórmula general directamente.
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-11,~c=-26\\
&x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4(1)(-26)}}{2(1)}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{121+104}}{2}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{225}}{2}\\
&x=\frac{11\pm15}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{11+15}2=13\\
x=\frac{11-15}2=-2
\end{array}\right.\end{align}
Solución 3: comience por escribir \(2x^2=7x+15\) en la forma \(ax^2+bx+c=0\), luego aplique la fórmula general.
\begin{align}
&2x^2-7x-15=0\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=2,~b=-7,~c=-15\\
&x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(2)(-15)}}{2(2)}\\
&x=\frac{7\pm\sqrt{49+120}}{4}\\
&x=\frac{7\pm\sqrt{169}}{4}\\
&x=\frac{7\pm 13}{4}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{7+13}{4}=\frac{20}{4}=5\\
x=\frac{7-13}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\\
\end{array}\right.
\end{align}
Coeficiente irracional. Resolver mediante el uso de la fórmula cuadrática \(x^2-2\sqrt7x+7=0\)
Solución: para \(x^2-2\sqrt7x+7=0\) se tiene que \(a=1\ \ \ \ b=-2\sqrt7\) y \(c=7\)
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-\left(-2\sqrt7\right)\pm\sqrt{\left(-2\sqrt7\right)^2-4\left(1\right)\left(7\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{2\sqrt7\pm\sqrt{\left(4\right)\left(7\right)-28}}{2}\\
&x=\frac{2\sqrt7\pm0}{2}\\
&x=\sqrt7\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\sqrt7\\x_2=\sqrt7\end{array}\right.\end{align}
Tenga cuidado en pensar en por el hecho de que \(2\sqrt7\) es un coeficiente la respuesta debe dar de manera automática \(\pm\sqrt7\) esto es solo porque la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto.
Resolviendo un producto. Determinar los valores de \(x\) que hacen verdadera la expresión \(\left(2x+3\right)\left(7x-2\right)=429\)
Solución: se debe comenzar por escribir la expresión en forma estándar \(ax^2+bx+c=0\) y luego aplicar la fórmula cuadrática.
\begin{align}
&\left(2x+3\right)\left(7x-2\right)=429\\
&2x\left(7x-2\right)+3\left(7x-2\right)=429\\
&14x^2-4x+21x-6-429=0\\
&14x^2+17x-435=0\\
\end{align}
que es la forma \(ax^2+bx+c=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para} \left\{ \begin{array}1a=14\\b=17\\c=-435\end{array}\right.\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{\left(17\right)^2-4\left(14\right)\left(-435\right)}}{2\left(14\right)}\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{289+24\ 360}}{28}\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{24\ 649}}{28}\\
&x=\frac{-17\pm157}{28}\\
&\left\{\begin{array}1x_1=\frac{-17+157}{28}=\frac{140}{28}=5\\x_2=\frac{-17-157}{28}=-\frac{174}{28}=-\frac{87}{14}\end{array}\right.\end{align}
Ecuación fraccionaria. Determinar los valores que hacen verdadero la expresión $$\frac3{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}$$
Solución: comenzando por multiplicar toda la expresión por el mínimo común de los denomidores \(m.c.ds.\) (producto de los denominadores para este caso).
\begin{align}
&2\left(x-4\right)\left(x-3\right)\left(\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}\right)\\
&6\left(x-3\right)+24\left(x-4\right)=11\left(x-4\right)\left(x-3\right)\\
&6x-18+24x-96=11x^2-33x-44x+132\\
&30x-114=11x^2-77x+132\\
&11x^2-77x-30x+132+114=0\\
&11x^2-107x+246=0\\
\end{align}
De donde se tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) y por tanto,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ {\rm para} \left\{ \begin{array}1a=11\\b=-107\\c=246\end{array}\right.\\
&x=\frac{-\left(-107\right)\pm\sqrt{\left(-107\right)^2-4\left(11\right)\left(246\right)}}{2\left(11\right)}\\
&x=\frac{107\pm\sqrt{11449-10824}}{22}\\
&x=\frac{107\pm\sqrt{625}}{22}\\
&\left\{\begin{array}1x_1=\frac{107+25}{22}=\frac{132}{22}=6\\
x_2= \frac{107-25}{22}=\frac{82}{22}=\frac{41}{11} \end{array}\right.\end{align}
Coeficientes fraccionarios. Resolver la ecuación
$$\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0$$
Solución: se debe comenzar por multiplicar toda la expresión por el mínimo común denominador para convertir los coeficientes a números enteros (trabajar con entero es más fácil) de donde se tiene,
\begin{align}
&36\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Por\ ser\ 36\ el\ m.c.ds.}\\
&27x^2-12x+1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Multiplicando}\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ a=27\ \ \ \ \ b=-12\ \ \ \ \ \ c=1\\
&x=\frac{-\left(-12\right)\pm\sqrt{\left(-12\right)^2-4\left(27\right)\left(1\right)}}{2\left(27\right)}\\
&x=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{54}\\
&x=\frac{12\pm6}{54}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\frac{12+6}{54}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}\\x_2=\frac{12-6}{54}=\frac{6}{54}=\frac19\end{array}\right.\end{align}
Raices irracionales. Resolver empleando la fórmula general las ecuaciones siguientes.
$$\begin{array}1
\textcolor{#ff0080}{1.}~-2x-2=-x^2 &~~~~ \textcolor{#ff0080}{2.}~~x^2-4=4x~~~~\\
\end{array}$$
Solución 1: comenzado por escribir en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se tiene \(x^2-2x-2=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-2,~c=-2\\
&x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4(3)}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4}\sqrt{3}}{2}\\
&x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt3\\
x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt3\\
\end{array}\right.
\end{align}
Solución 2: escribiendo ordenado se tiene \(x^2-4x-4=0\) así que aplicando la fórmula cudrática,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-4,~c=-4\\
&x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(-4)}}{2(1)}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{16(2)}}{2}\\
&x=\frac{4\pm4\sqrt2}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
&x=\frac{4+4\sqrt2}{2}=2+2\sqrt2\\
&x=\frac{4-4\sqrt2}{2}=2-2\sqrt2\\
\end{array}\right.\end{align}
Ecuaciones incompletas. Resolver las ecuaciones planteadas.
$$\begin{array}1
\textcolor{#ff0080}{1.}~~x^2-3=0~~~~~~~~~~& \textcolor{#ff0080}{2.}~~5x^2-100=0\\
\end{array}$$
Solución 1: escribiendo \(x^2-3=0\) en la forma general se tiene \(x^2+0x-3=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=0,~c=-3\\
&x=\frac{0\pm\sqrt{0^2-4(1)(-3)}}{2(1)}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{12}}{2}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{4(3)}}{2}\\
&x=\frac{\pm2\sqrt3}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x_1=\sqrt3\\
x_2=-\sqrt3\\
\end{array}\right.\end{align}
Solución 2: simplificando \(5x^2-100=0\) se tiene \(x^2-20=0\), así que aplicando la fórmula cudrática,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=0,~c=-20\\
&x=\frac{\pm\sqrt{-4(1)(-20)}}{2(1)}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{80}}{2}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{16(5)}}{2}\\
&x=\frac{\pm4\sqrt5}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
&x=2\sqrt5\\
&x=-2\sqrt5\\
\end{array}\right.\end{align}
Note que iguales resultados se obtendria si se usa la fórmula general para \(5x^2+0x-100=0\).
Sin solución en los reales. Resolver la ecuación \(x^2-x+12=0.\)
Solución: la ecuación tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) para \(a=1\ ;\ \ b=-1\) y \(c=12,\) aplicando la formula cuadrática para estos valores, se tiene.
\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(-1\right)\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(1\right)\left(12\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{1\pm\sqrt{1-49}}{2}\\
&x=\frac{1\pm\sqrt{-48}}{2}\end{align}
Como \(\sqrt{-48}\) no está definido en \(\mathbb{R},\) no existe solución para esta ecuación.
Más adelante al estudiar los números complejos, se podrá dar solución a situaciones como esta.
Raíces irracionales. Resolver la ecuación \(x^2-2x-22=0.\)
Solución: se tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) para \(a=1;\ \ b=-2\) y \(c=-22,\) por tanto,
\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(1\right)\left(-22\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4+88}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{92}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4\left(23\right)}}{2}\\
&x=\frac{2\pm2\sqrt{23}}{2}\\
&x=\frac{2\left(1\pm\sqrt{23}\right)}{2}\\
&x=1\pm\sqrt{23} \Longrightarrow \left\{\begin{array}i
x_1=1+\sqrt{23}\\
x_2=1-\sqrt{23}\end{array}\right.\end{align}
Raíces irracionales. Resolver la ecuación \(x^2+37x-36=0\)
Solución: esta es una ecuación pendiente por resolver en el tema de factorización. Aplicando la fórmula general su resolución es como sigue.
$$\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(37\right)\pm\sqrt{\left(37\right)^2-4\left(1\right)\left(-36\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{-37\pm\sqrt{1369+144}}{2}\\
&x=\frac{-37\pm\sqrt{1513}}{2}\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_1≈0.948\\
x_2≈-37.948\end{array}\right.\end{align}$$
Área de juego. Un campo de juego cuadrado tiene una diagonal que mide 200ft. Determine las dimensiones del campo.
Solución: sea \(l\) la longitud del lado del cuadrado y d la longitud de su diagonal, cómo el campo es cuadrado cumple \(d^2=l^2+l^2\Longrightarrow d^2=2l^2\)
\begin{align}
&200^2=2l^2\\
&2l^2-{200}^2=0\\
&2l^2+0l-40000=0\\
&l=\frac{\pm \sqrt{-4(2)(40000)} {2(2)}\\
\end{align}
Como la longitud \(l\) debe ser positiva las dimensiones son \(100\sqrt2ft\ \times100\sqrt2ft.\)
Cuidado: se debe tener cuidada de no caer en el error de resolver la ecuación del paso uno \({200}^2=2l^2\) como:
\begin{align}
2l^2={200}^2\\
2l^2=40000\\
l^2=20000\\
l=\pm \sqrt{20000}\\
l=\pm 100\sqrt{2}\end{align}
Aunque se llega al mismo resultado esto es un gran error ya que en \(\mathbb{R}\) la raíz cuadrada de un número es simpre positiva.
Taller. En el taller de mecanizado se tiene una barra hierro de \(73\rm{ft}\) de longitud y se debe utilizar para construir seis marcos rectangulares para igual número de oficinas cuyas dimensiones son iguales y que forman una cuadricula dos por tres de \(105\rm{ft^2}\) de área. Determine las dimensiones de cada marco.
Solución: sean \(w\) y \(l\) las dimensiones en pies, de la cuadricula, como se muestra en la figura. De los datos se tiene,
\begin{align}
&\left\{\begin{array}1
9w+8l=73~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{1}} \\3w(2l)=105~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{2}}\end{array}\right.\end{align}
Ahora se despeja una de las variables en la ecuación más simple, para luego sustituir su valor en la otra y resolver.
\begin{align}
&{\rm Depejando}~~w ~{\rm en}~~\boxed{\textcolor{ #ff0080}{1}}\\
&w=\frac{73-8l}{9}\\
&{\rm Sustituyendo~en~}\boxed{\textcolor{ #ff0080}{2}}\\
&3\left(\frac{73-8l}{9}\right)2l=105\\
&3(73-8l)2l=105(9)\\
&(73-8l)2l=105(3)\\
&146l-16l^2=315\\
&16l^2-146+315=0\end{align}
Aplicando ahora la fórmula general para \(a=16;~b=-146\) y \(c=315\),
$$\begin{align}
&l=\frac{-(-146)\pm\sqrt{(-146)^2-4(16)(315)}}{2(16)}\\
&l=\frac{146\pm\sqrt{21316-20160}}{32}\\
&l=\frac{146\pm\sqrt{1156}}{32}\\
&l=\frac{146\pm34}{32}\\
&l=\left\{\begin{array}1
\frac{146+34}{32}=\frac{45}8\\
\frac{146-34}{32}=\frac72
\end{array}\right.\end{align}$$
Luego para \(l=7/2\):
\begin{align}
&w=\frac{73-8l}{9} \Longrightarrow \frac{73-8\left(\frac72\right)}{9}\\
&w=\frac{73-28}{9}=5\\
&\end{align}
Por tanto, las oficinas deben medir \(5{\rm ft} \times 3.5 \rm ft\)
Dimensiones. Un jardín rectangular está rodeado por un sendero de grava que mide dos pies de ancho. El área que cubre el jardín es de \(80ft^2,\) y el área que abarca la acera es de \(100ft^2.\) Determinar las dimensiones del jardín. (Dibujo no está a escala).
Solución: sean \(w\) y \(l\) el ancho y el largo del jardín en pies. De los datos \(w+4\) es el ancho de la acera y \(l+4\) es el largo de la acera.
Área total \(=\) área de la acera \(+\) área del jardín
\begin{align}
&\left(w+4\right)\left(l+4\right)=100+80\\
&\left(w+4\right)\left(l+4\right)=180\\
&lw+4w+4l+16=180\end{align}
Se tiene una ecuación en dos variables, por tanto, es necesario expresar una de las dos, en términos de la otra para poder resolver. Despejando \(l\) de \(lw=80\) se tiene \(l=80/w\), y sustituyendo en \(lw+4w+4l+16=180\):
\begin{align}
&\left(\frac{80}{w}\right)w+4w+4\left(\frac{80}{w}\right)+16=180\\
&80+4w+\frac{320}w+16=180\\
&80w+4w^2+320+16w=180w\\
&4w^2-84w+320=0\\
&w^2-21w+80=0\\
&w=\frac{-(-21)\pm \sqrt{(-21)^2-4(1)(80)}}{2(1)}\\
&w=\frac{21 \pm \sqrt{441-320}}{2}\\
&w=\frac{21 \pm \sqrt{121}}{2}\\
&w=\frac{21 \pm 11}{2}\\
&\left\{\begin{array}{l}
w_1=\frac{21+11}{2}=16\\
w_2=\frac{21-11}{2}=5\end{array}\right.
\end{align}
De donde para \(w=5{\rm ft}\) entonces \(l=16{\rm ft}\) o viceversa.
Taller. Imagina que eres el gerente de un taller de mecanizado, en el cual se debe construir un total de veinte marcos rectangulares para utilizase en letreros de luces de neón según lo ha pedido un cliente. El diseño que ha pedido el cliente para el marco es que tenga un área de \(330\rm{{in}^2}\) y que además el margen en la parte superior e inferior sea el doble que el de los lados. Para la realización del pedido por razones de costos se compran láminas de aluzinc de 20" de largo por 32" de alto, las cuales deben ser modificadas basado en los criterios del cliente. ¿Cuáles son las medidas con las que se deben hacer los marcos pedido?
Solución:
Sea \(x\) el ancho de los márgenes en pulgadas. El área \(A=wl\).
\begin{align}
&\left(32-4x\right)\left(20-2x\right)=330\\
&640-64x-80x+8x^2=330\\
&8x^2-144x+310=0\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~~{\rm para}~~a=8,~b=-144,~c=310\\
&x=\frac{-\left(-144\right)\pm\sqrt{\left(-144\right)^2-4\left(8\right)\left(310\right)}}{2\left(8\right)}\\
&x=\frac{144\pm\sqrt{20736-9920}}{16}\\
&x=\frac{144\pm\sqrt{10816}}{16}\\
&x=\frac{144\pm104}{16} \\
&\left\{\begin{array}1x_1=\frac{144+104}{16}=\frac{248}{16}=\frac{31}{2}\\x_2=\frac{144-104}{16}= \frac{40}{16}=\frac{5}{2}\end{array}\right.\end{align}
Luego la dimensión del margen lateral debe ser \(2.5{\rm in}\), mientras que la de los márgenes superiores e inferiores es \(5{\rm in}\), ya que un margen de \(15.5\rm{in}\) es imposible para el tamaño de la lámina, por tanto las dimensiones del largo y el ancho de los letreros son \(22{\rm in}, 15{\rm in}\).
Solución: sean \(w\) y \(l\) las dimensiones en pies, de la cuadricula, como se muestra en la figura. De los datos se tiene,
Dimensiones. Un jardín rectangular está rodeado por un sendero de grava que mide dos pies de ancho. El área que cubre el jardín es de \(80ft^2,\) y el área que abarca la acera es de \(100ft^2.\) Determinar las dimensiones del jardín. (Dibujo no está a escala).